Taux de variation en un point

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
Soit \(a\) et \(b\) deux nombres distincts de l'intervalle \(I\).
Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le nombre \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

Propriété

Soit\(\) \(\mathcal{C}\) la courbe représentative d'une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\).
Soit \(a\) un nombre de l'intervalle \(I\) et \(h\) un nombre non nul tel que \(a+h\) est aussi dans \(I\).
Soit \(\text{A}\) le point de \(\mathcal{C}\) d'abscisse \(a\) et \(\text{B}\) le point de \(\mathcal{C}\) d'abscisse \(a+h\).
\(\)La droite \((\text{A}\text{B})\) a pour coefficient directeur le taux de variation \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\).

Exemple

Le fichier de géométrie dynamique suivant montre la parabole représentative de la fonction `f` définie sur `\mathbb R` par `f(x)=x^2+1`. Les points \(\text{A}(a~;f(a))\) et \(\text{B}(a+h~;f(a+h))\) appartiennent à la courbe, `h` étant un nombre que l'on peut choisir à l'aide du curseur en bas à gauche.
La droite `(\text{AB})` a pour coefficient directeur le rapport \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\), soit le taux de variation de \(f\) entre \(\text{A}\) et \(\text{B}\).